Поиcк по сайту by Google


Rambler's Top100
Образование Крыму » Математика » Теория бифуркаций - В.И. Арнольд и др.

Теория бифуркаций - В.И. Арнольд и др.

Скачать
Название: Теория бифуркаций
Автор: В.И. Арнольд и др.
Категория: Математика
Тип: Книга
Дата: 17.01.2009 13:38:19
Скачано: 488
Оценка:
Описание: Слово «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе: динамической, экологической и т. д. Наш обзор посвящен бифуркациям фазовых портретов дифференциальных уравнений — не только бифуркациям положений равновесия и предельных циклов, но перестройкам системы в целом и, прежде всего, ее инвариантных множеств и аттракторов. Такая постановка проблемы восходит к А. А. Андронову. Связи с теорией бифуркаций пронизывают все естествознание. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, как правило, неизвестны. Если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведение его решений может качественно измениться при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо понять, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров. Часто модельные системы оказываются настолько громоздкими, что не допускают содержательного исследования, прежде всего из-за обилия входящих в них переменных. При изучении таких систем часть переменных, мало меняющихся в ходе процесса, как правило, полагают постоянными. В результате получается система с меньшим количеством переменных, которая и исследуется. Однако учесть влияние отброшенных членов в исходной модели, рассматриваемой «индивидуально», зачастую невозможно. В этом случае отброшенные члены можно рассматривать как типичные возмущения, и описывать исходную модель средствами теории бифуркаций. Перефразируя известные слова Пуанкаре о периодических решениях, можно сказать, что бифуркации, как факелы, освещают путь от исследованных динамических систем к неисследованным. Эту роль теории бифуркаций использовали Л. Д. Ландау и позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному при возрастании числа Рейнольдса. В сценарии Ландау этот переход осуществлялся через бифуркации торов все возрастающей размерности. После того, как зоопарк динамических систем и их бифуркаций необозримо разросся, появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотическому (турбулентному). С помощью исследования цепочки бифуркаций объяснено хаотическое поведение трехмодовой модели Лоренца конвективного движения; это объяснение не вошло в нястояший обзоо. поскольку в него, по сообоажениям объема.
Файл: 1.98 МБ
Скачать