Поиcк по сайту by Google


Rambler's Top100
Образование Крыму » Математика » Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений - Лаппо-Данилевский И. Л.

Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений - Лаппо-Данилевский И. Л.

Скачать
Название: Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений
Автор: Лаппо-Данилевский И. Л.
Категория: Математика
Тип: Книга
Дата: 19.01.2009 14:24:57
Скачано: 199
Оценка:
Описание: Проблемы интегрирования линейных дифференциальных урав'нений занимали математиков еще в XVIII веке. Затем в XIX веке построение Коши теории функций комплексного переменного дало возможность обосновать всю теорию линейных дифференциальных уравнений на твердом аналитическом фундаменте и построить ту обширную теорию, которая сейчас называется аналитической теорией линейных дифференциальных уравнений. Задачей этой теории является исследование функций комплексного переменного, определяемых линейными дифференциальными уравнениями с аналитическими коэффициентами. Здесь надо упомянуть прежде всего блестящие по результатам и глубокие по идеям работы Римана по теории функций, непосредственно связанные с линейными дифференциальными уравнениями. Необходимо добавить к этому, что значительно раньше Гаусс в некоторых своих письмах высказывает идеи, которые потом были воплощены в аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. Начало современной теории линейных уравнений принято видеть в мемуарах Фукса, которые появились в 60-х годах XIX столетия. В этих мемуарах Фукс следующим образом формулирует основную задачу теории: „При настоящем положении знания в теории дифференциальных уравнений ставится задача, состоящая не в том, чтобы привести заданное дифференциальное уравнение к квадратурам, но больше В том, чтобы получить из самого дифференциального уравнения представление о поведении его интегралов для всех точек плоскости, т. е. для всех значений независимого переменного". Фукс Дает в своих работах ряд общих результатов и подробно рассматривает тот случай, когда особые точки дифференциального уравнения удовлетворяют некоторым определенным условиям, которые позволяют весьма просто написать разложение решений вблизи особой точки. Эти особые точки называются обычно регулярными особыми точками. В случае одного дифференциального уравнения порядка п: w™ -f- Pi{z) и/"-» +. . . + Рп_у -1 рп w = 0 (1) эти точки характеризуются тем условием, что каждый коэффициент рк(г) имеет в рассматриваемой особой точке г = а полюс порядка не выше к. Фукс показал, что вблизи такой точки п линейно независимых решений уравнения (1) могут быть представлены, вообще говоря, в виде » = (* — «)'[«„+ «,(« —«,) + «,(* —а)»+ . . .] (а0ф0). (2) В исключительных случаях к этому разложению надо добавить слага-мые, которые представляются произведением степеней lg(z — а) на выражения вида (2). Число р в разложении (2) определяется из обычного алгебраического уравнения, а коэффициенты ак определяются последовательно из уравнений первой степени. После работ Фукса появился целый ряд работ, посвященных аналитической теории линейных уравнений, и можно сказать, что этот отдел математического анализа привлек максимальное внимание всех выдающихся математиков второй половины XIX века. Мы не можем входить в сколько-
Файл: 1.52 МБ
Скачать